Luentoja kybernetiikan alkeista

Prof. Heikki Hyötyniemi
AS-74.4192 Kybernetiikan alkeet
2. luento: Kompleksisten järjestelmien tutkimus
Teknillinen korkeakoulu, 30.1.2009

Luentovideoinnista litteroinut Petri Lievonen.
(v.2009.04.06)

–

[0:00/1]

Tervetuloa taas, tänne perjantai-istuntoon.

Tällä kertaa aiheena on kompleksisuusteoria yleisesti ottaen, koska tämä on se kehys missä tätä kybernetiikkaa, ja erityisesti neokybernetiikkaa tehdään.

[0:24/2]

Jos mietitte mitä kompleksiset järjestelmät ovat, niin tässä on eräs tulkinta asiasta.

John Holland, joka on hyvin merkittävä tutkija alalla, määrittelee että mikä tahansa vaikea ongelma, melkeinpä voisi sanoa, että mikä tahansa ongelma, josta voi tulla kompleksi, kelpaa tutkimuskohteeksi.

Ajatuksena on, että löytyisi ehkä jotain yleisiä periaatteita kaikkien kompleksisten, monimutkaisten järjestelmien taustalta.

Jos puhutaan kaupan epätasapainosta, AIDSista, geneettisistä virheistä, mentaalisesta hyvinvoinnista tai tietokoneviruksista, niin tämä alkaa olla jo pikkuisen kyseenalaista, että voiko näille löytyä mitään yhteistä.

Ja seuraava kalvo onkin pikkuisen raflaava tässä.

[1:45/3]

Kysymys on, että mitä tiedätte alkemiasta, ja naurattavatko nämä alkemistien tekoset teitä? – siellä joskus 500 vuotta sitten kun he sitä tekivät.

Tätä voisitte pohtia siellä luentopäiväkirjassa, esimerkiksi.

Mutta kehotan myös pitämään mielessä, että Newton oli alkemisti myös.

Sen jälkeen kun Newton oli keksinyt nämä helpot asiat, niin kuin painovoimateorian ja liikelait, niin sen jälkeen Newton keskittyi sellaiseen asiaan mistä hän uskoi että hänelle tulee ikuinen maine, ja missä voi saada merkittäviä tuloksia aikaan.

Siihen aikaan ei vielä tunnettu kemiaa, ja maailma oli siinä mielessä aika lailla auki vielä.

[2:56/4]

Tietyllä tavalla kompleksisuustutkimuksen "uskontunnustus" on tämä, että on olemassa jotain yleispätevää kaikkien kompleksisten järjestelmien takana.

Tämä on sillä tavalla, että toiset uskoo tähän ja toiset ei, mutta ennen kuin sanotte, että ette usko siihen, niin –

[3:30/5]

ennen kuin menette esimerkiksi tälle linjalle kuin Kari Enqvist, ihan esimerkkinä mainitakseni – eli jos olette lukeneet tämän monimutkaisuuskirjan, niin siellä hän on kohtuullisen negatiivinen sen suhteen että tarvitaanko mitään kompleksisuusteoriaa ollenkaan.

Hän lähtee siitä, että perusteoriat on jo olemassa, ja riittää vain täyttää aukot, sieltä, näiden teorioiden väliltä.

Hänen lähtökohtansa on, että kaikki mitä maailmassa on, on energiaa, tai sitten ainetta, energian toisena ilmenemismuotona.

Ja ainoa ongelma, mitä meillä on kun yritämme mallittaa maailmaa, on että meidän pitäisi pystyä kirjoittamaan nämä Hamiltonin funktiot, jotka määrittelevät sen energiapinnan.

Ja sen jälkeen, jos nämä Hamiltoniaanit on saatu aikaan, niin kaikki nämä korkeankin tason ilmiöt voidaan suoraan palauttaa matematiikkaan – eli jotkut kognitioilmiöt muiden muassa.

Ja tietenkin epälineaarisuudet aiheuttavat sen, että asiat ovat vaikeita, ja lausekkeet ovat äärimmäisen monimutkaisia.

Mutta kuitenkin se perusongelma on ikään kuin lakaistu maton alle.

Ei hyväksytä että tarvittaisiin mitään vahvempaa kuin mitä meillä tällä hetkellä on käytössä, jo.

[5:18/6]

Tässä muutama kalvo, joissa on tarkoitus näyttää, että me olemme vain, tässä hetkessä, tämän hetkisen ymmärryksen vankeja.

Viisaatkin ihmiset, viisisataa tai tuhat vuotta sitten ajattelivat esimerkiksi, että sydän on sielun koti.

Perusteluna oli, että esimerkiksi puhe tulee rinnasta – ja mistä muualta se sieltä tulee kuin sieltä sisimmästä elimestä mikä siellä on, eli sydämestä.

Ja mehän tiedämme, että silloin kun kiihdymme, niin sydämen lyöntitiheys kasvaa.

Ja oikeastaan juuri kiihtyminen – niin ainoa elin, joka reagoi siihen, on sydän.

Aivoista ei näe mitään muutosta tunnetilan perusteella.

Aristoteleelle aivot tarvittiinkin vain veren jäähdyttämiseen.

Ehkä ihmetyttää, että miksi jopa tuhannen vuoden ajan, tämä Aristoteleen teoria – myös muilta osin kuin sydämen roolin osalta – säilyi pinnalla, tai elävänä, se johtuu siitä, että se oli siihen aikaan kaikkein johdonmukaisin selitys asiaan.

Jos me ajattelemme itsemme vaikka 150 vuotta taaksepäin, 1800-luvulle, jossa evoluutioteoriasta aletaan väitellä kovasti.

Niin tietyllä tavalla, jossakin mielessä, tämä asia on ollut aika selkeä juttu – ei Darwin ollut ensimmäinen joka esitti ajatuksen jonkunlaisesta kehityksestä.

Mutta siihen aikaan oli niin paljon vastaesimerkkejä, että yksinkertaisin selitys oli jonkunlainen jumalallinen selitys.

Että lajit on Jumala luonut sellaisiksi kuin ne ovat.

Ja ehkä merkittävin, tai tärkein selitys tai perustelu tälle oli, että jos aurinko on hiiltä, niin ei millään voi riittää tätä hiiltä polttoaineeksi miljooniksi vuosiksi, jonka ajan evolutiivinen kehitys vaatisi, jotta lajit voisivat kehittyä.

Eli vaadittiin esimerkiksi ydinfysiikan kehittyminen, ennen kuin meillä maailma oli niin valmis, että voitiin rakentaa evoluutiosta johdonmukainen teoria.

Darwin itse myönsi silloin aikanaan että – tai veti monia väitteitään takaisin – ihan sen vuoksi, kun se oli pikkuisen liian aikaisessa vaiheessa tehty tämän hänen kirjansa, esimerkiksi siihen aikaan ei ollut mitään teoriaa siitä, että minkälaisia ovat nämä perintötekijät, tai minkälaisessa muodossa ne periytyvät.

Jos se olisi vain jonkinlaista jatkuvaa ainetta, niin silloinhan nämä perintötekijät, tai tämä perintöaines, vain liudentuisi koko ajan, ja – jollakin tavalla päädyttäisi aina vaan yhdenmukaisempaan populaatioon, sen sijaan että ajauduttaisiin jonkunlaiseen populaatioiden erkaantumiseen.

[9:20/7]

No me voimme nyt miettiä itseämme, viidensadan vuoden päästä tulevaisuudessa.

Aivan samalla tavalla kun nyt voidaan pohtia näitä flogistoni-teoreetikkoja tai alkemisteja 500 vuotta sitten, niin aivan samalla tavalla voidaan kuvitella että mitä meistä ajatellaan 500 vuoden kuluttua tulevaisuudessa.

Aivan varmasti monet asiat ovat hyvin erilaisia sitten.

Ja suoraan sanoen, nykyaikana on niin paljon yhteensopimattomia havaintoja, että varmaan se viidensadan vuoden kuluttua elävä voi ihmetellä, että miten on ylipäänsä johdonmukainen maailmankuva voinut olla tämän ajan ihmisellä.

Entisaikaan oli paljon vähemmän ristiriitaisia havaintoja luonnosta.

Otetaan muutamia esimerkkejä –

[10:25/8]

tai oikeastaan tässä seuraavalla kalvolla on yksi esimerkki siitä, että on näissä selityksissä mitä nykyisin tarjotaan luonnontieteissä, niissä on jotakin miettimisen arvoista edelleenkin – kaikki ei ole, kaikki teoriat ei ehkä ole valmiita.

Tässä on hyvin yksinkertainen entsyymimalli esitetty.

Tiedätte että entsyymit on niitä, jotka elimistössä huolehtivat kemiallisista prosesseista, ne katalysoivat prosesseja.

Katalysointi perustuu siihen, että – tai perinteinen malli ajatella asiaa on se, että – meillä on ikään kuin lukko ja avain, johon tämä entsyymi sopii.

Se sopii siihen lukkoon tarkasti kuin yksikäsitteinen avain, ja se saa aikaan, se aukaisee sen molekyylin jotenkin, että se pystyy reagoimaan.

Jos kuitenkin ajatellaan tämmöistä molekyyliä, niin voidaan kyllä ihmetellä että kuinka se voisi toimia kuin jokin hyvin monimutkainen avainjärjestelmä, koska ainoa asia mitä ne molekyylit näkevät, tästä entsyymistä, on vain sen aikaansaama sähkökenttä – tai nykyteorian mukaan, sen sähkökentän minkä se aikaansaa ympärilleen.

Ja sitten nämä molekyylit sokeina tökkivät toisiaan – niiden sähkökentät vuorovaikuttavat, ja ne joko vetävät tai hylkivät toisiaan.

Se on suunnilleen sama asia kuin sokea ihminen tökkisi kepillä teitä kasvoihin ja yrittäisi tunnistaa teitä.

Toinen lisäongelma on tietenkin se, että molekyyleillä ei ole mitään hahmontunnistuskykyä, eikä niillä ole mitään tietoista tarvetta tunnistaa jotakuta.

Ne vain asettuvat siihen missä on niiden sähköisen potentiaalin minimi, jollakin tavalla, löytyvä.

Siinä mielessä voidaan ihmetellä että kuinka tämä biokemiallinen prosessi on niin tarkka.

Puhumattakaan näistä geneettisistä prosesseista.

Kuinka nämä voivat kemiallisella tasolla toimia niin hyvin, ja niin nopeasti vielä.

Vieläpä sillä tavalla että tämä geeniekspressio, tai geenien luenta, se voi tapahtua niin johdonmukaisesti ketjuttain.

Se on aivan käsittämätöntä.

Palaamme tähän asiaan kurssin loppupuolella.

[13:12/9]

Toinen, vähän yksinkertaisempi esimerkki on tämä:

Jos olette lukenut Tiede-lehteä, siellä oli jokin aika sitten aiheena, lyhyt kirjoitus että kuinka nämä lumihiutaleet saavat muotonsa.

Siellä selitettiin että vaikka nämä lumihiutaleet ovat hyvin erilaisia, tai käytännössä kaikki erilaisia, niin kuitenkin yksi lumihiutale on aina syntynyt samanlaisissa olosuhteissa, sillä tavalla että jokainen sen haarake on kokenut samanlaisen historian.

Ja siitä seuraa se, että jokainen haarake muodostuu samanlaiseksi.

Eli tämä symmetria perustellaan ikään kuin näillä ympäristöolosuhteilla.

Kuitenkin ihan yksinkertainen tarkastelu osoittaa, että jos otetaan lumihiutale, nähdään että ne on eri vaiheissa ne eri haarakkeet.

Ja kuitenkin jos sen annetaan kehittyä sen lumihiutaleen, niin ne täydentyvät myöhemmin, nämä vajavaiset haarat, vaikka olosuhteet ympärillä – tai vaikka oletus sanookin, että niiden olisi pitänyt olla täsmälleen samassa vaiheessa jo siihen mennessä, jotta ne pystyisivät olemaan samanlaisia.

Niin miten on selitettävissä että ne jollakin tavalla tuntuvat kommunikoivan keskenään, nämä haarakkeet – että ne ohjaavat toistensa kehitystä?

Mihin se voi perustua?

Nykyteoria ei tähänkään pysty vastaamaan.

Sen vuoksi halutaan sovittaa – tai selitykset haetaan nykyteorian avulla sillä tavalla, että saadaan ainakin näennäinen selitys.

Juuri tämä, että ne ovat olleet samoissa olosuhteissa, niin se vaikuttaa, aika – jossain määrin keksityltä, tai huonolta selitykseltä, jopa.

Tässä nyt olkoon nämä esimerkit johdanto tähän väitteeseen, että todellakin, jotain uuttakin teoriaa tarvitaan.

Ja ainakin ne ihmiset, jotka ajattelevat – tai jotka ovat ajautuneet tähän kompleksisuusteoriaan, niin he näkevät että jotakin uutta tarvitaan.

Tämä on aivan sama kuin teköälyn puolella – tai tekoälyhän on osa kompleksisuustutkimusta – eli myös toiset tutkijat näkevät joissakin itseorganisoituvissa kartoissa ideaa, ja toiset tutkijat eivät näe.

Tämä vähän jakaantuu tämä kenttä sen mukaan.

[16:18/10]

No, sitten jos lähdemme siitä, että tarvitaan uutta teoriaa, voidaan ruveta miettimään, että minkälaista se teoria on, ja kuinka sitä voitaisiin lähestyä.

Jos taas tarkastellaan tätä tutkimuksen kenttää omana kompleksisena järjestelmänään, niin voidaan ruveta havainnoimaan, että minkälaista tutkimusta on tehty sillä alalla.

Ja se on hyvin laaja kenttä.

Löydätte verkosta hakemalla helposti erilaisia tutkimuksen aloja, jotka omalta näkökulmaltaan valaisee tätä kompleksisuuden ajatusta.

Mutta tässä kurssissa tosiaan valitaan vain yksi näkökulma kompleksisuuteen, ja tutkitaan sitä tarkkaan, johdonmukaisesti, ja sen vuoksi ei tulla näistä eri alueista käymään kovinkaan montaa kovinkaan täsmällisesti.

[17:40/11]

No, tämähän on hyvin vanha ongelma sinänsä, koska hyvin monet monimutkaiset järjestelmät – tai kompleksisia järjestelmiä on kautta aikain tutkittu tai ainakin niille on haluttu löytää jonkunlaisia malleja.

Perinteisesti lähestymistapa on ollut se, että rakennetaan hierarkioita – eli pyritään tähän insinöörimäiseen lähestymistapaan.

Eli hajoitetaan monimutkainen ongelma osiin, ja analysoidaan osat erikseen, ja kasataan sen jälkeen nämä osat yhteen takaisin, ja sanotaan että tämä osamallien joukko on sitten tämän kokonaisuuden malli.

Ja tätä lähestymistapaa on tosiaan harrastettu Aristoteleesta lähtien.

Hän määritteli taksonomioita, ja sen jälkeen esimerkiksi Linnéen taksonomia – tai tämä luokittelulähestymistapa, missä pyrittiin luokittelemaan kaikki asiat luonnossa, erityisesti kasvit ja eläimet – niin se on tätä lähestymistapaa kuvastava.

Mutta myöhemminkin, esimerkiksi tämä Nobelin voittaja Simon, määritteli että kompleksien systeemien arkkitehtuuri perustuu hierarkia-ajatteluun.

Hän perusteli sitä sillä, että nämä ovat evolutiivisesti kestäviä rakenteita sen vuoksi että ne on robusteja – hän sitä perusteli sitten kirjassaan.

Ja myös tietenkin meidän alalla, säätötekniikassa, mallit ovat tämmöisiä hierarkisia malleja, ihan sen vuoksi kun myös meidän alalla on säädettävä monimutkaisia järjestelmiä, vaikka ei mitään hienoa teoriaa olisikaan.

Siksi on jouduttu nimenomaan insinöörimäisesti lähestymään ongelmia.

Mutta tässä lähestymistavassa on juuri se ongelma, että tämmöinen raaka insinöörimäinen lähestymistapa – jollakin tavalla – "tappaa", tämän olennaisen.

Jollakin tavalla – tekoälyn lähestymistavat, tyypillisesti, käyttää niin ronskia koneistoa, tietyllä – se ajatus, se älykkyyden ajatus, tai se tietoisuuden ajatus, hukkuu sen koneiston alle.

Ja vastaavasti jos tutkitaan jotain elävää koneistoa, elävää mekanismia, tai biologista laitetta, semmoisena laitteena, niin tämä itse elämän ajatus peittyy sen koneiston alle.

Ja meidän alalla jos ruvetaan jotain optimaalista robustia säätöjärjestelmää rakentamaan, tai optimaalista hierarkista järjestelmää rakentamaan, niin tämä robustisuus on se mikä meillä ensimmäisenä alkaa kärsiä siellä kokonaisuudessa.

Jotain uutta tarvitaan.

Ja katsotaan nyt mitä nykyaika voi tarjota, uusia työkaluja, juuri sellaisia mitä Aristoteles aikanaan ei voinut edes kuvitella.

[21:06/12]

Se millä tavalla nykymaailma eroaa entismaailmasta on erityisesti se asia, että meillä on tämä tietokone joka pystyy tekemään toistuvaa laskentaa, aivan toiseen malliin kuin joku tutkija entisaikaan.

Eli nyt kun tämmöinen ääretön kvadratuuri on hyväksytty, eli ei-kreikkalais-pohjainen lähestymistapa on sallittu, niin silloin voidaan pistää tietokone rouskuttamaan – rakentaa tällaisia komputationaalisia malleja – ja voidaan katsoa, että mitä tulee vastaan.

Ja nyt taas alkaa jakaantua tämä kenttä, että niistäkin jotka uskovat kompleksisuusteoriaan, niin osa uskoo sen, että komputationaaliset lähestymistavat välttämättä jossakin vaiheessa esimerkiksi johtavat älykkyyteen.

Tekoälyn puolella on perinteisesti ollut tämä ajattelu, että kahdenkymmenen vuoden kuluessa tietokone välttämättä on älykkäämpi kun ohjelmoijansa, koska sen laskukapasiteetti on niin valtava, jo kahdenkymmenen vuoden kuluttua.

Mutta voidaan väittää että se ei riitä, se pelkkä laskuteho.

Koska jos menetelmät on väärät, tai se kognition malli, tai se älykkyyden malli on väärä, niin sieltä ei koskaan emergoidu mitään.

Esimerkiksi voitaisiin kuvitella, että jo nykyisellä koneistolla pitäisi pystyä matkimaan kärpäsen älykkyyttä, jos nyt ei ihmisen älykkyyttä pystytäkään.

Ja siinäkin ollaan vielä alkutekijöissä.

Voidaan kyllä saada jonkunlaista järkevää käyttäytymistä aikaiseksi, jos se enemmän tai vähemmän ohjelmoidaan, mutta kuitenkin, kärpänen elävänä oliona on aivan toista luokkaa vielä monimutkaisuudeltaan verrattuna tietokoneohjelmaan.

No, tosiaan, tämä kenttä jakautuu sillä tavalla että toiset ei usko tähän, että komputationalistiset lähestymistavat riittäisivät.

Kuitenkin, nyt tässä luennossa tarkastellaan tätä lähestymistapaa.

Oletetaan, että tietokone pystyy antamaan meille jotakin uutta.

[23:49/13]

Mutta jotta se pystyisi antamaan, niin meillä täytyy olla jonkunlaista tarkkuutta siinä, ja jonkunlaista mieltä siinä mitä me tietokoneeseen syötetään.

Koska jos me syötetään roskaa koneeseen, niin se pui sitä aikansa, ja antaa sitten roskaa ulos.

Esimerkiksi jos meillä on jokin konvergoimaton algoritmi, niin pyöristysvirheet kasvavat lopulta niin suuriksi, että ne täysin peittävät alleen kaiken mielekkään informaation.

Eli, meidän täytyy osata ohjelmoida se kone oikein, ja katsotaan nyt että millä tavalla sitä konetta voitaisiin oikein ohjelmoida.

[24:29/14]

Tässä päästään tähän kaaosteoriaan sitten.

Olette varmasti kuullut asiasta.

Kaaosteoriaankin on monta lähestymistapaa.

Mutta tässä kurssissa nyt käydään läpi, ikään kuin meidän pohjalta lähtien, tätä asiaa pyörittämään.

Meidän alalla tarkoitan systeemistä ajattelua, ja takaisinkytkentöjä ja vuorovaikutuksia, eli lähdetään siitä ajatuksesta, että meillä on jokin tämmöinen malli, jossa on takaisinkytkentää mukana.

Katsotaan, että pystyykö tämä takaisinkytkentä sinänsä saamaan aikaan jonkunlaista emergenssiä.

Sillä tavalla että lopputulos olisi jotain muuta kuin mitä me intuitiivisesti pystymme kuvittelemaan.

Eli pystyykö laskennallisesti näin hyvin määritellystä jutusta tulemaan mitään semmoista mikä olisi kompleksisuuden kannalta kiinnostavaa.

Ja, tosiaan, tämä lauseke mitä tarkastellaan nyt tässä vähän aikaa, niin tämä on periaatteessa tämmöinen yksinkertainen logistisen kasvun lauseke, mitä on käytetty tämmöisen kasvumallin, tai kasvuprosessin mallina.

Jos kuvittelette kasvumalleja, niin kaikkein yksinkertainen kasvumalli on tämän osa, tästä, tämä eksponentiaalinen kasvu, että seuraava populaatio on edellinen populaatio kerrottuna jollakin vakiolla lambda.

Tämä lambda on tässä tämä kasvutekijä nyt.

Tätä logistista mallia on kehitetty eteenpäin sillä tavalla – siihen on lisätty tämmöinen vaimennustekijä tähän.

Eli mitä suurempi populaatio, sen enemmän vaimennetaankin tätä kasvua.

Se voidaan kirjoittaa tähän muotoon.

Nähdään että tämän lineaarisen termin lisäksi, joka merkitsee eksponentiaalista kasvua, meillä on tällainen neliöllinen termi tässä.

Eli epälineaarinen termi.

Ja, todellakin, vaikka me täydellisesti pystymme tietämään kvalitatiivisesti kuinka tämä eksponentiaalinen kasvu käyttäytyy, niin tämä näennäisesti yksinkertainen lisäys, tuo aivan valtavan lisäkompleksisuuden tähän käyttäytymiseen.

[27:23/15]

Ja tässä on tämä kaaosteorian eräänlainen maamerkki, tai jonkunlainen klassinen kuva.

Kuinka moni on nähnyt tämän aikaisemmin?

Noin puolet on nähnyt.

Eli tässä on tämä bifurkaatio myös tässä mielessä.

Eli, tämä on niin sanottu bifurkaatiodiagrammi.

Tarkottaa sitä, että tässä on tämän lambdan, eli kasvutermin tai kasvuparametrin funktiona kuvattu sitä, että mihin tämä järjestelmä lopulta päätyy.

Jos seurataan tätä lambdaa täältä nollasta ykköseen asti, niin voidaan todeta, että kasvu on liian pientä siinä mallissa, se aina tasapainossa ajautuu nollaan, se järjestelmän käyttäytyminen.

Aina lopulta käy sillä tavalla että x(k) on nolla, ja siitä seuraava x(k+1) on nolla, ikuisesti.

Eli se on staattinen tasapaino, ja stabiili tasapaino.

Sen sijaan, kun lambda nousee ykkösestä korkeammaksi, eli kasvutekijä saavuttaa tietyn rajan, niin osoittautuu että tämä tasapaino mihin se ajautuu, ei olekaan enää nolla, vaan sillä on jokin tämmöinen mielekäs tasapainoarvo.

Eli, tyypillisesti näillä arvoilla tätä logistisen kasvun käyrää käytetään hyväksi.

Se päätyy johonkin mielekkääseen tasapainoon.

Mutta, jos kasvatamme lambdaa edelleen, eli siinä mallissa kolmosen yli, meillä rupeaa tapahtumaan jotakin, joka on täysin ennalta arvaamatonta, tätä kaavaa katsomalla pelkästään.

Sitä ei pysty näkemään.

Osoittautuu, että tämä tasapainopiste, mikä sillä on, se muuttuukin epästabiiliksi.

Jos lähdemme jostakin mielivaltaisesta x:n arvosta eli populaation arvosta, se ei koskaan löydä tätä kiintopistettänsä, vaan se ajautuukin tällaiseen käyttäytymiseen, että se vuoroin on täällä, ja toisella kerralla täällä, eli se pomppii kahden vaihtoehtoisen arvon välillä, ja tämä on stabiili sykli.

Eli sillä on periodi kakkonen.

Tietyillä lambdan arvoilla, kun lambda on yli kolmen, mutta alle kolmen ja puolen, se ajautuu tämmöiseen stabiiliin sykiin jossa on kaksi pistettä.

Mutta sen jälkeen taas tapahtuu aika hämmästyttävä ilmiö – se stabiili 2-periodi muuttuukin stabiiliksi 4-periodiksi, siinä on neljä pistettä jotka toistaa toisiaan.

Riippumatta siitä mistä x:n arvosta lähdetään se päätyy aina tähän käyttäytymiseen.

Tässä on piirretty kaikki nämä periodiset pisteet, tänne neljään asti.

Eli lambdan arvoon neljä asti.

Te huomaatte – jos kokeilette sitä mallia – että jos teillä on lambda isompi kuin neljä, niin se on epästabiili koko malli, eli se räjähtää.

Mutta jos lambda pysyy alle nelosessa, niin se pysyy aina nollan ja ykkösen välissä se x:n arvo, mutta sen käyttäytyminen tulee aina vain monimutkaisemmaksi, mitä lähemmäksi nelosta tullaan.

Ja tämä –

[Kysymys: Tuplaantuuko se aina se jaksollisuus?]

Se tässä alussa tuplaantuu.

[Meneekö se loppuun asti, vai onko se vain –]

No tämä onkin juuri se yllätys mikä siellä tuleekin vastaan, että se ei mene niin johdonmukaisesti,

[31:30/16]

vaan se aluksi tuplaantuu, eli ensin siinä on tämmöinen 2-jakso sitten 4-jakso, 8-jakso, 16-jakso, mutta sitten, kun mennään tietyn rajan yli, siellä alkaakin jostain syystä esiintyä tämmöisiä parittomia jaksoja, ja voidaan osoittaa, että tiettyyn lambdan arvoon mennessä, tällä mallilla on ollut kaikki mahdolliset jakson pituudet jollakin lambdan arvolla.

[Siis jopa kolme?]

Me palaamme tähän kolmoseen, tuolla ihan luennon lopussa.

Eli tämä – ilmeisesti olet lukenut näitä asioita koska –

[No en kauheasti mutta joskus –]

– tämä on kuuluisa paperi täällä kaaosteoriassa juuri että periodi kolme tarkoittaa kaaosta.

Eli se on tietyllä tavalla kaikkein vaikein periodi mikä voidaan saavuttaa.

No, kuitenkin, käyttäytymistä on hyvin vaikea nähdä, että mikä siellä taustalla oleva malli on, ja mikä on se lambdan arvo – eli, mitä pidempi jakso on, niin sen vaikeampi sitä on erottaa puhtaasta kaaoksesta, tätä käyttäytymistä.

[32:56/17]

No, tämä on sen verran kiinnostava tämä bifurkaatiokäyttäytyminen, että tulee mieli kokeilla myös monimutkaisemmalla datalla – eli tuossa äsken se x oli aina skalaarinen, eli se oli se populaation koko.

Tarkastellaankin tämmöistä kaksiulotteista tapausta, eli siinä on x ja y, reaaliarvoiset muuttujat käytössä.

Ja tämä liittyy tuohon edelliseen sillä tavalla, että voimme kirjoittaa tuon kahden muuttujan funktion myös kompleksiluvuilla, tähän muotoon.

Eli z seuraavalla hetkellä on verrannollinen zetan toiseen potenssiin edellisellä hetkellä.

Tässä on olennaisesti tämä sama toinen potenssi mukana, kuin siellä äskeisessä logistisessa kasvussa.

Ja, tosiaan, tämä on pelkästään tämän kompleksiarvoisen funktion aukikirjoitettu muoto, sillä tavalla, että reaaliosa ja kompleksiosa on kirjoitettu erikseen.

Tarkastellaan nyt, että jos lähdemme alkuarvosta x = 0 ja y = 0, ja tämä vakio-osa vaihtelee, niin katsotaan kuinka se järjestelmä käyttäytyy.

[34:30/18]

Muistetaan että skalaaritapauksessa saatiin tuo bifurkaatiodiagrammi, nyt kaksiulotteisessa tapauksessa saadaan tämä niin sanottu Mandelbrotin joukko.

Kuinka monelle tämä on tuttu?

Joo, tämä on toinen semmoinen, ikään kuin symboli tälle kaaosteorialle.

Eli tässä nyt näkyy tämä reaaliakseli, ja sitten tämä kompleksiakseli tuolla.

Kun valitsemme x0,y0 jostain täältä avaruudesta, niin nämä kaikki punaisella merkityt alueet johtavat divergenssiin.

Tarkoittaa sitä, että se malli ajautuu äärettömään.

Sen sijaan nämä mustalla esitetyt alueet johtavat siihen, että se pysyy rajoitettuna – se ei välttämättä konvergoi mihinkään, mutta se ei myöskään räjähdä.

Eli löytyy tämmöinen niin sanottu outo attraktori, mihin se ajautuu, kaikilla näillä mustalla merkityillä alueilla, kun lähdetään, kun otetaan se alkuarvo sieltä, mustan alueen sisältä.

Kiinnostavaa on, että kun mennään tähän reuna-alueelle, niin täällä rupeaa löytymään aina vain enemmän hienorakennetta.

Eli tämä raja-alue on se kiinnostava.

Eli täällä tapahtuu divergenssi, täällä tietynlainen konvergenssi, tai ainakin se löytää tämmöisen syklin kohtuullisen nopeasti.

Nämä reuna-alueet ovat semmoisia, joissa tarvitaan hyvinkin pitkää iteraatiota joskus että nähdään miten se käyttäytyy.

[36:00/19]

Tässä on hieman eri tavalla kuvattu tämä sama asia.

Tässä on niin sanottuja Julia-joukkoja.

Eli ne ovat myös kaaosteorian symboli, eräällä tavalla.

Tässä on valittu x0,y0 täältä edellisen kalvon kuvasta, ja täällä on merkitty nyt tosiaan yhdeksän kappaletta pisteitä täältä mustalta alueelta, ja seurattukin nyt sitä sykliä, että minkänäköinen sykli siitä tulee, kun x,y vaihtelee kun tätä iteroidaan.

Osoittautuu että se x,y -pistejoukko, tai pisteparien joukko, muodostaa kompleksitasossa tämmöisiä kuvioita.

Eli jos ollaan ihan tuolla keskellä – tämä kolmonen on tuolla keskellä Mandelbrotin joukkoa – niin tämä on hyvin yksinkertainen, tämä attraktori.

Mutta että paljon tämmöistä hienorakennetta sieltä löytyy.

Tämä on ollut hyvin suosittu tutkimuksen kohde kaikilla niillä joilla on ollut tehokkaat graafiset tietokoneet, 80-luvulla.

[37:23/20]

No, tällä alalla on hyvin paljon avainsanoja, avainkäsitteitä, ja muutamia semmoisista on fraktaalisuus ja itsesimilaarisuus.

Niitä esitetään tässä kalvolla – näytetään niiden – tai mitä ne tarkoittavat.

Jos ruvetaan tutkimaan reuna-aluetta tästä Mandelbrotin joukosta, valitaan tämmöinen ja suurennetaan sitä.

Te muistatte että tämä on täysin deterministinen kaava, mikä määritteli tämän Mandelbrotin joukon – voimme mielivaltaisella tavalla zoomata, ottaa aina vain tarkemmat liukuluvut käyttöön, ja voidaan ruveta piirtämään tarkempia ja tarkempia karttoja tästä.

Tämä on zoomaus tuosta alueesta, ja niin edelleen.

Tässä on aina noin kymmenen kertaa suuremmalla tarkkuudella, otetaan täältä kohtia, ja sitten kun on menty jo hirvittävän paljon syvemmälle, kuin mitä tämä alkuperäinen kuva oli, niin sieltä löytyykin yllättäen aivan sama muoto.

Ja tätä samaa muotoa löytyy hyvin monesta paikasta tästä kuvasta.

Tätä sanotaan itsesimilaarisuudeksi.

Eli tämä alkuperäinen kuva toistaa itseään eri skaaloissa, äärettömän pitkälle.

Ja toisaalta fraktaalisuus on juuri sitä, että eri skaaloissa tapahtuu – tai kun mennään tarkempaan skaalaan, niin siellä löytyykin jotenkin olennaisesti samanlaista laadullista käyttäytymistä.

Palaamme tähän fraktaalisuuteen hetken kuluttua.

[39:24/21]

Ja nyt jos ruvetaan katsomaan tuommoista kuvaa, niin kuin esimerkiksi tämä on osa sieltä Mandelbrotin joukon reuna-alueelta, niin helposti tulee intuitioita mieleen.

Jos ruvetaan katsomaan täältä, niin tämä on ikään kuin, aivan kuin jotain nikamia, ja täällä on tämmöinen silmä.

Tässä on helppo ruveta ajattelemaan, että nyt me on löydetty jokin elämän kaava.

Se voidaan palauttaa siihen yhteen ainoaan kompleksilausekkeseen, riviin.

Tämä on juuri semmoinen asia joka jakaa ihmisiä, että onko tällä jotain merkitystä, vai eikö tällä ole jotain merkitystä, että ovat näin similaarisia nämä kaksi kuvaa.

Ja minä jakaudun – tai minä kuulun siihen kategoriaan nyt toisaalta, joka uskoo että tällä loppujen lopuksi ei ole kovin paljon merkitystä tällä että nämä ovat, pintakuvio on samanlainen.

Koska vaikka meillä alla olevia hahmoja olisi hyvin suuri määrä, niin pintahahmoja, niitä on äärellinen määrä, niitä on paljon vähemmän kuin näitä syvähahmoja.

Ja jos onnistumme saamaan aikaan – se, että kaksi erilaista kompleksista järjestelmää, pinnalla, projisoituna jollekin tasolle, antaa samantyyppisen kuvan, niin se ei välttämättä kerro siitä kovin paljon vielä, että ne mekanismit olisivat samoja, näissä kompleksisissa järjestelmissä.

Aivan niinkuin Alan Turingilla, edellisellä luentokerralla, loppujen lopuksi ei kinnostuksen kohteena ollutkaan ne seepran raidat, vaan se hevonen siellä alla.

[41:35/22]

No, sitten kun näitä kaaosmalleja on tutkittu, niin on todettu, että ne on tyypillisesti hyvin herkkiä alkutilalle.

Eli jos lähdetään jostakin pikkuisen poikkeavasta alkutilasta niin lopputulos voi olla hyvin erilainen.

Eli se eksponentiaalisesti kasvaa – puhutaan niin sanotusta Lyapunov-eksponentista, joka kertoo kuinka nopeasti nämä toisistaan poikkeavat alkutilat hajaantuvat.

Siihen liittyy tämä niin sanottu perhosefekti, että jos perhonen räpäyttää siipiänsä, jossain Amazonasissa, niin se saattaa edetä, tämä siivenräpäytyksen aiheuttama häiriö, sillä tavalla että kahden viikon kuluttua Teksasissa on hirmumyrsky.

Se saattaa kumuloitua se lopputulos, tällaisessa kaoottisessa sääjärjestelmässä, sillä tavalla.

Tässä on pikkuisen lohduton näkökulma siinä mielessä, että jos meillä ei mitään ennustamiskykyä malleilla ole, jos meillä käy aina sillä tavalla kuin sääennusteilla käy, että ne divergoi, jossakin vaiheessa, niin onko niistä malleista kovin paljon hyötyä sitten ylipäänsä.

Yksi lähtökohta juuri tässä neokybernetiikassa onkin lähteä siitä, että lähdetään tarkastelemaan käyttäytymisiä, jotka on konvergentteja.

[43:20/23]

Ja – no, on tätä divergenssin ja konvergenssin ongelmaa aikaisemminkin pohdittu.

On pystytty määrittelemään esimerkiksi tämmöisiä funktiojoukkoja, jotka konvergoi, eli saadaan aikaan samanlainen lopputulos, vaikka lähdettäisiin hyvin erilaisista alkutilanteista.

Tässä on esimerkki täältä – oikeastaan voisi puhua IFS-teoriasta eli Iterated Function Systems -teoriasta.

Eli meillä on kaavajoukko, ja kun siihen kaavajoukkoon jotakin alkuarvojoukkoa sovelletaan, tai työnnetään tätä alkuperäistä pistejoukkoa siihen järjestelmään sisään, tai siihen malliin sisään, niin se tuottaa aina loppujen lopuksi tämmöiset itsesimilaariset rekursiiviset rakenteet, niin kuin tässä nyt nämä lehdet ovat.

Perusongelma on taas kylläkin se, että vaikka nämä pintamuodot näyttävät hyvin pitkälle luonnollisilta lehdiltä, niin tämä mekanismi, eli tämmöinen funktioiden toistaminen, on – vaikea kuvitella kuinka se luonnossa tapahtuisi.

Eli tässä on, tosiaan – jos tässä on tämä koko lehti, niin se on pienemmässä muodossa tässä, lehden haarassa, ja edelleen tämä on pienennettynä tässä ja niin edelleen äärettömyyteen asti.

Tässä on taas tämä fraktaalisuus ja itsesimilaarisuus mukana.

[53:25/24]

Tämä kaaosteoria – voisikin sanoa että se oli silloin 80-luvulla kuuma aihe – silloin nämä graafiset tietokoneet tuli – mutta hyvin nopeasti huomattiin, että, tämä nyt on, todellakin, kaaosta sinänsä, että melkein mikä tahansa epälineaarisuus, kun me ruvetaan sitä iteroimaan, niin se tuottaa tämmöisen kaoottisen lopputuloksen, mutta kiinnostavaa onkin se, että pystyisimmekö jollakin tavalla identifioimaan sen kaavan, jota se luonnonjärjestelmä on iteroinut, jotta on saanut sen lopputuloksen aikaiseksi.

Eli kompleksisuusteorian tavoite on päinvastainen kuin tässä kaaosteoriassa: sen sijaan että iteroidaan jotakin alku-, tai annettua funktiota mielivaltainen määrä, ja saadaan jokin luonnon muoto aikaiseksi, niin otetaan jokin luonnon muoto, ja pyritään löytämään se kaava, jota iteroimalla se on saatu aikaiseksi.

Toivomus on, että sieltä löytyisi jokin allaoleva kaava, joka pystyy selittämään erilaisia luonnon muotoja.

Tietyllä tavalla tässä ollaan taas tekemisissä tämmöisen viisasten kiven kanssa.

Jos meillä olisi jokin teoria, joka annetulle luonnon muodolle pystyisi palauttamaan sen taustalla olevan lausekkeen, niin tämä ratkaisisi hyvin paljon ongelmia, mitä meillä kompleksisissa järjestelmissä on.

Ja aivan samalla tavalla niin kuin nämä alkemistit aikoinaan, yrittivät sitä viisastenkiveä löytää, niin kompleksisuusteoreetikot koittavat löytää tätä viisastenkiveä.

Ja jos se löytyy, niin silloin maailma ei ole enää samanlainen enää sen jälkeen.

Aivan samalla tavalla, jos alkemistit olisivat löytäneet viisastenkiven, niin tieteet olisivat menneet ihan toiseen suuntaan.

Vaikea kuvitella, minkälaiseen suuntaan.

No, jotta voisimme pureutua tähän ongelmaan – kuinka se allaoleva funktio sieltä kompleksisuuden alta, löydettäisiin – tarvitsemme jonkunlaisia formulointeja, ja jotta meillä olisi jotain konkreettista kiinnekohtaa, niin lähdetään liikkeelle siitä minkä havaitsimme näissä luonnonmuodoissa usein, tämmöiseksi läsnäolevaksi piirteeksi, eli tämä fraktaalisuus ja itsesimilaarisuus.

[48:13/25]

Eli lähdetään ensin määrittelemään mitä ovat fraktaalit, tai lähdetään matemaattisesti analysoimaan fraktaaleja ja itsesimilaarisuutta.

Ja tässä nyt on, tämä määritelmä – eli fraktaalidimensio on tämmöinen logaritmilauseke, tai kahden logaritmin suhde, yksinkertaisesti.

Käydään tämä ihan matemaattisena tehtävänä ja huomataan, että tällä on jokin merkitys tällä lausekkeella.

Eli tässä on, tosiaan, osoittajassa on logaritmi, itsesimilaaristen osien lukumäärästä, ja nimittäjässä on logaritmi, suurennus- tai pienennyskertoimesta.

Esimerkiksi otetaan nyt vaikka tämä neliö tästä.

Onko tämä itsesimilaarinen rakenne?

Kyllä tämä on, ja näemme että jos jaamme tämän tästä puolivälistä poikki, ja toisella viivalla toisin päin poikki, näemme että sillä on neljä täsmälleen saman muotoista neliötä, sisällä, joiden kombinaationa tämä kokonaiskuva nyt muodostuu.

Eli tässä on neljä kappaletta näitä osia, ja nämä ovat jokainen laidaltaan puolet tästä alkuperäisestä neliöstä.

Se tarkoittaa, että tämä suurennustekijä on kakkonen, ja itsesimilaaristen osien lukumäärä on neljä.

Laittaa logaritmi neljä jaettuna logaritmi kakkosella, saadaan kaksi.

Eli tämä fraktaalidimension lauseke, ainakin tässä tapauksessa, pelkistyy tähän tavallisen dimension lausekkeeseen.

Tiedämme että neliö on kaksiulotteinen olio.

Myös kannattaa huomata se, että – logaritmin ominaisuuksista johtuen – on aivan sama, mikä kantaluku meillä on, se antaa aina tämän saman tuloksen.

Otetaan sitten tämä viivanpätkä esimerkiksi.

Jaetaan vaikka kolmeen osaan tämä, huomataan, että ne kolme kolmasosan mittaista viivanpätkää on similaarisia sen koko viivan kanssa.

Eli tässä nyt on tosiaan kolme itsesimilaarista osaa, ja suurennustekijä on kolmonen, eli se on logaritmi kolme jaettuna logaritmi kolmosella, ykkönen.

Tässäkin tapauksessa fraktaalidimensio antaa saman dimensiolausekkeen.

Viiva on yksidimensioinen otus.

No tässä voitaisiin sitten jakaa tämä vaikka vastaavalla tavalla, kolmeen osaan näin päin, ja kolmeen osaan vaakasuorassa, silloin siinä olisi yhdeksän itsesimilaarista osaa, ja skaalaustekijä olisi kolmonen, ja sijoittamalla tuohon kaavaan, edelleen saadaan sama tulos, että kakkonen on tämä fraktaalidimensio.

[51:20/26]

Otetaankin nyt vähän kiinnostavampi esimerkki, niin sanottu Sierpinskin kolmio.

Nähdään, että se voidaan konstruoida – eli tämä lopputulos täällä on se Sierpinskin kolmio – se voidaan konstruoida sillä tavalla että tämmöisiä kolmioita kasataan päällekkäin ääretön määrä.

Tai äärettömästi jatketaan tämmöistä kolmioiden kasaamista, eli ensin tämä kolmio, sitten tämä kolmio tästä, kasataan aina, samalla tavalla päällekäin, ja nähdään että tämä alkuperäinen kolmio täällä kutistuu, eli skaalaustekijä on kakkonen, eli aina seuraavassa tää kolmio on puolikkaaksi sivultansa supistunut.

Mutta, itsesimilaarisia osia aina alaspäin mentäessä on kolme kappaletta.

Eli se on logaritmi kolme jaettuna logaritmi kakkosella.

Nyt ei saadakaan mitään kokonaislukua, vaan saadaan jokin 1,58.

Tarkoittaa sitä, että nyt ollaan tehty oikeasti aito laajennus, tähän dimension käsitteeseen, eli meillä on – tämän kuvion dimensio ei ole kokonaisluku nyt.

Jos rupeatte tarkastelemaan mitä tahansa kohtaa täällä, niin jos tämä on muodostettu äärettömällä iteraatiolla, sillä tavalla että tätä on toistettu ääretön määrä tätä kolmioiden kasaamista, niin minkä tahansa kohdan te otatte täältä, niin siellä ei tosiaankaan ole yhtään pinta-alaa, oikeasti olemassa, vaan kaikki kohdat, vaikka kuinka paljon suurennatte, niin vain tämmösiä reiällisiä hahmoja.

Eli mistään kohdasta ei löydy semmoista yhtenäistä väripintaa.

Jos löytyisi, niin silloin se automaattisesti olisi kaksiulotteinen rakenne, mutta nyt se ei ole kaksiulotteinen.

[53:30/27]

Ja ruvetaan pyörittelemään tuota fraktaalidimension kaavaa.

Mehän voimme heittää nimittäjästä logaritmilausekkeen tänne toiselle puolelle, eli saamme lausekkeen, missä tämä fraktaalidimensio D on yhdistävä tekijä kahden logaritmilausekkeen välillä, eli se on lineaarinen riippuvuus kahden logaritmilausekkeen välillä.

Tämä antaa meille työkalut analysoida jotakin mielivaltaista kuviota, ja löytää sen fraktaalidimensio, tämä lauseke.

Jos te piirrätte jonkun mittatikun funktiona tämän itsesimilaaristen osien määrän, logaritmi-logaritmi -asteikolla, niin tämän suoran kulmakerroin on se fraktaalidimensio.

Eli logaritmi-logaritmi -asteikolla fraktaalidimensio D yhdistää nämä kaksi logaritmilauseketta.

Eli fraktaalisuus ja niin sanottu potenssilakimalli on kääntäen sama asia.

Jos on jokin suure, jonka yhteys johonkin toiseen suureeseen on kirjoitettavissa tällä tavalla, että sillä on jokin potenssi täällä, niin se potenssi voidaan tulkita fraktaalidimensioksi – ja nämä kaksi suuretta täällä, voidaan tulkita että ne on potenssilain mielessä naimisissa keskenään.

Katsotaan vähän esimerkkejä että mitä tämä käytännössä tarkoittaa.

[55:40/28]

Otetaan tämmöinen standardi esimerkki fraktaalidimensioiden puolelta.

Tässä on Englannin kartta, ja nyt mittatikun pituus on ensinnäkin 100 kilometriä.

Tiedämme että jos ruvetaan Englannin rajoja, tai tämän saaren rajoja, pitkin kulkemaan, sadan kilometrin tarkkuudella, sillä tavalla että aina se alkupää kiinnitetään johonkin – sitten katsotaan missä kohti se mittatikku tulee maahan, tai missä se törmää rantaan, niin se on seuraava piste ja taas seuraava ja niin edelleen, niin nähdään että saamme hyvin krouvin kuvan Englannin rannikosta.

Se on tuossa noin.

Eli nyt mittatikun pituus on sata kilometriä, ja näitä osia, mitä tässä on, niin nitä on – mikä lukumäärä tähän nyt onkin saatu aikaiseksi.

Se voidaan siis kirjoittaa log-log -asteikolle, missä täällä on ensinnäkin se mittatikun pituus, ja täällä on se, kuinka monta semmoista mitallista meillä on, tai kuinka pitkä tätä mittatikkua käytettäessä on se rannikko.

Tässä on otettu 50 kilometriä mittatikuksi, ja nähdään että se kulkee olennaisesti tarkemmin jo, kaikkien näiden lahtien ja tämmöisten vuonojen kautta.

Eli voidaan olettaa, että käyttäessä tätä 50 kilometrin mittatikkua, meillä Englannin rannikon pituus on suurempi, kuin käytettäessä tätä liian pitkää mittatikkua.

Ja edelleen, otetaan aina vain tarkempi mittatikku, jokin kilometrin mittatikku, niin se kulkee taas tarkemmin kaikkien pinnanmuotojen, tai rannikonmuotojen, kautta.

Tätä voidaan jatkaa periaatteessa hyvinkin pitkälle, koska aina vaan, kun mennään tarkempaan tarkasteluun, niin sieltä löytyy tämmöisiä pikkuisia niemekkeitä, ja lopulta meillä on näitä hiekanjyviä joita voidaan ruveta kiertämään.

Ja saamme tämmöisiä mittatikku-rannikonpituus -pareja, jotka voidaan tähän logaritmi-logaritmi -asteikolle piirtää, ja nähdään että se on nyt tässä, tämä käyrä.

Täällä on tosiaan tämä, ensinnäkin – nojoo, ei mennä yksityiskohtiin, mutta kuitenkin, nähdään että tämä käyrästö, tai tämä pisteiden joukko, asettuu likimain suoralle.

Tämä on, täytyy ottaa huomioon, taas tässä että, likimain.

Taas – joukko voi hajaantua.

Toiset näkee, että kyllähän ne ovat suoralla, toiset näkee että ei, ei ole suoralla.

Nyt jos uskotaan että nämä ovat suoralla, niin – Englannin rannikko, sillä on fraktaalipituus, fraktaalidimensio, joka voidaan lukea suoraan tästä kulmakertoimesta.

Vastaavasti kun tehdään muiden maiden rajoille tämmöistä tarkastelua, ja nimenomaan semmoisille rajoille, jotka on luonnon muovaamia – ihmisen vetämät rajat on suoria kyllä, siinä ei ole fraktaalista dimensiota, otetaan mikä tahansa mittatikku, niin se pituus säilyy samana mittatikusta riippumatta, otetaan vaikka jokin maastoon vedetty raja, eli se pysyy vaakasuorana, se käyttäytyminen, mutta tämmöiset, juuri rannikot, niissä on tätä fraktaalisuutta, ja nähdään, että esimerkiksi Etelä-Afrikan rannikko, se on selvästi vähemmän fraktaalinen kuin Englannin rannikko.

Siinä on vähemmän tuota kaltevuutta, ja niin edelleen.

Eli tällä tavalla voidaan mallittaa nyt kaaosteorian mielessä näitä, esimerkiksi maarajoja, tai vesirajoja, mailta.

[59:58/29]

No tässä on sitten esimerkki aivan toisesta kohteesta.

Eli tarkasteltu luonnollisen kielen sanojen frekvenssejä.

Kun sanat on järjestetty kaikkein eniten käytetyistä sanasta vähemmän käytettyihin päin, sillä tavalla että ne ovat kaikki siinä vähenevässä yleisyysjärjestyksessä, niin huomataan, että taas kun piirretään tämä rankkaus logaritmiasteikolle, ja sitten tämä frekvenssi, eli sanan tiheys normaalikielessä, toiselle asteikolle logaritmisena, niin nähdään että se likimain asettuu taas tälle suoralle, täällä log-log -tasossa.

Eli jostakin syystä, kielen sanat ovat myös fraktaalisia, jollain tavalla, tai niiden tiheys.

Tästä voi lähteä taas – joku näkee tässä kiinnostavaa asiaa, joku ei.

Mutta jo kauan ennen kuin näistä kaaosteorioista puhuttiin, puhuttiin Zipf:n laista, se on juuri tämä kielen sanojen käyttäytymisessä havaittu piirre.

Otetaan mikä tahansa kieli, niin tyypillisesti tämä samanlainen käyttäytyminen on voimassa.

Osoittautuu, että jos meillä järjestelmä on jollakin tavalla itsejärjestynyt, niin siellä on tämmöistä fraktaalisuutta mukana.

[1:01:47/30]

Mutta riittääkö tämä fraktaalisuus, tai fraktaalidimensio, meille – vielä – kunnon työkaluksi.

No, sitä pohditaan hetken kuluttua.

Kuitenkin, näihin liittyen, on eri tutkimuksen aloilla tehty havaintoja ja todettu että siellä tämmöinen potenssilaki pätee, eli löytyy logaritmi-logaritmi -asteikolla jonkunlainen lineaarinen riippuvuus.

Ja vähän – riippuen siitä että mistä tutkimuksenalasta on kyse, niin on keksitty sama asia uudelleen.

Ja sitten on erilaisia nimityksiä, sen keksijän mukaan, aika pitkälle.

[1:02:26/31]

No, sitten tässä on justiin se, että – tarkoitus näyttää sitä että – että se lineaarisuus on pikkuisen semmoinen, kyseenalainenkin.

Tähän palataan myöhemmin.

[1:02:46/32]

Kuitenkin aika paljon on sovellutuksia olemassa.

[1:02:52/34]

Ja, kun on ruvettu tutkimaan että mistä tää fraktaalisuus, tai itsesimilaarisuus tulee, niin on voitu todeta että esimerkiksi jos ruvetaan rakentamaan tämmöistä verkostoa, sillä tavalla että ruvetaan enemmän tai vähemmän satunnaisesti lisäämään verkon noodien välille yhteyksiä, niin kuin jossain internetissä esimerkiksi, niin siitä seuraa tämmöinen itsesimilaarinen rakenne tyypillisesti, tietyillä ehdoilla.

[1:03:31/33]

Ja, tämä onkin, tai täällä on tämä – otetaan tämä kalvo tähän väliin – eli tämä äskettäinen kirja joka oli kovasti suosittu, tai puhuttiin paljon pari vuotta sitten tästä asiasta, niin tämä on tavallaan uutta tulemista näille fraktaalisuusasioille.

Tämä Barabasi totesi, että kaikissa tämmöisissä verkostoissa, on potenssilaki voimassa, ja tietyllä tavalla tämä on siis samassa paketissa, tai eri paketissa, tuota samaa fraktaalisuusteoriaa, tai kaaosteoriaa.

[1:04:15/35]

No, tässä on sitten esimerkki meidän alalta.

Eli millä tavalla meidän alalla voidaan ajatella, että syntyy tämmöistä fraktaalisuutta.

Tyypillisesti sisimmät säätösilmukat automaatiojärjestelmissä ovat stabiloivia säätöjä, joissa on – aikavakiot ovat jotain luokkaa sekunnin osista muutamiin minuutteihin, ehkä, riippuen prosessista.

Ja näitä yksittäisiä säätöjä on tyypillisesti useita laajemmassa kokonaisuudessa, jossa pyritään jotakin regulointia tekemään.

Oletetaan, että meillä on alla stabiloivat säädöt, ja sen päälle rakennetaan jokin tuotannonohjaukseen liittyvä regulointi.

Näitä regulointeja on sitten teollisuuslaitoksessa useita, tyypillisesti.

Näissä on tyypillisesti jokin tuntien tai vuorokausien aikaskaala.

Kun mennään ylemmäksi, niin siellä on taas säätösilmukka, jossa pyritään tuotanto optimoimaan kysynnän mukaan esimerkiksi.

Tässä tuotannonohjauksen tasolla pyritään ohjaamaan niitä alemman tason regulointeja, sillä tavalla että saataisiin se tuotanto sinne, laskettuun optimiin.

Täällä toimitaan tyypillisesti päivien, tai jopa kuukausien, aikaskaalassa että saadaan oikeanlaista tuotetta aikaiseksi.

Eli on ensinnäkin aikaskaala, mikä menee aina vain lyhyemmäksi kun mennään alaspäin, ja toisaalta säätimien määrä, mikä kasvaa, kun mennään alaspäin.

Näistä voi muodostaa myös kaavion, jossa piirtää vaikka aikaskaalaa toiselle asteikolle, ja toiselle asteikolle sitten säätimien määrää, ja voi todeta, että enemmän tai vähemmän, ne asettuvat logaritmi-logaritmi -asteikolla suoralle.

Sillä tavalla voi jollakin tavalla luonnehtia tätä teollisuuslaitosta.

Mutta jollakin tavalla tämä on hiukan liian laadullinen, kuitenkin mittana, automaatiojärjestelmälle.

Emme voi mitään kunnon suunnittelua tehdä tämmöisen fraktaalidimension avulla.

Se on hieman liian abstrakti käytettäväksi.

Siinä on kysymysmerkki että voidaanko kaaosteoriaa tällä tavalla sovellettuna oikeasti käyttää – voitte pohtia sitä.

[1:07:25/36]

Kuitenkin, jos luonto on näissä luonnonjärjestelmissä päätynyt fraktaaliseen rakenteeseen, niin eikö meidän pitäisi teknisissä järjestelmissä pyrkiä samaan, koska luonnojärjestelmät on tyypillisesti robusteja, ja ne toimii hyvin – ei välttämättä aivan optimaalisesti – mutta kuitenkin eri tilanteissa hyvin.

Vaikka siellä jokin osa romahtaa, luonnonjärjestelmässä, niin tyypillisesti se kokonaisjärjestelmä ei siitä romahda.

Voisi olla edullista jos pystyisimme teollisuusjärjestelmän rakentamaan samalla periaatteella, ja – nyt voimme tätä fraktaalidimensiota kyllä jonkun verran käyttää analysiin, että jos huomaamme että alatasolla on liian vähän esimerkiksi säätösilmukoita, niin voimme kuvitella kasvattavamme sitä säätimien määrää.

Mutta kuitenkin, tämä jää jollakin tavalla kuvailevalle tasolle.

[1:08:36/37]

Lähdetään nyt katsomaan ihan toista näkökulmaa.

Viime aikoina ollut kovasti esillä, tämä Wolfram, ja toisaalta Penrose, ja niin edelleen, jotka lähtevät siitä, että emme voi ymmärtää, mitään monimutkaista järjestelmää, ellemme mene ihan sinne, alatasolle asti.

Penrose puhuu siitä, että tarvitaan jotain kvanttitason ymmärrystä, jotta voidaan esimerkiksi tietoisuutta ymmärtää – samoin puhuu Kari Enqvist.

Stephen Wolfram lähtee siitä, että meidän täytyy ymmärtää näitä soluautomaatteja, jotta voidaan ymmärtää monimutkaisia järjestelmiä.

Tietyllä tavalla asia on hyvin selkeä tai johdonmukainen siinä mielessä, että pohjimmiltaan fysikaaliset järjestelmät ovat rakentuneet jostakin allaolevista rakenteista, jostakin atomeista, tai soluista.

Eli siinä mielessä tämä on hyvin ymmärrettävä lähtökohta.

Mutta se mikä tässä on vähän kyseenlaista, on se, että onko mielekästä unohtaa kaikki ne pitkälle menevät teoriat, joita on rakennettu nimenomaan abstrahoimalla tämmöisiä – atomijärjestelmiä, ja solujärjestelmiä.

Taas tutkimuksen kenttä jakautuu kahtia, siinä mielessä että toiset ei hyväksy efektiivisiä kuvauksia, jonkinlaisia abstraktioita näistä alatason ilmiöistä, ja toiset lähtee siitä, että – tai ne jotka ei hyväksy tämmöisiä abstraktioita, ne vaativat että mallit pitää rakentaa aivan näiden perusilmiöiden pohjalle.

[1:10:48/38]

Pari vuotta sitten oli kuuma aihe tämä Wolframin "Uusi tiede", jossa hän toteaa,

[1:11:00/39]

että oikea malli kaikille maailman kompleksisille järjestelmille on tämmöinen soluautomaatti.

Ja, soluautomaatteja tutkimalla me voidaan kaikki järjestelmät loppujen lopuksi ymmärtää.

Perusongelma tässä on se, että soluautomaattien teoria on liian vahva teoria – tai se on kovasti vahva teoria siinä mielessä, että sillä saadaan kyllä kaikenlaisia hienoja simulaatioita aikaiseksi, voidaan osoittaa jopa, että nämä soluautomaatit ovat universaalilaskimia, eli niillä voi toteuttaa kaiken mitä tietokoneellakin voi tehdä.

[1:11:52/40]

Mutta, juuri ongelma on se, että nämä ovat liian vahva työkalu, eli, te tiedätte – tai jos olette laskettavuuden teoriaan perehtynyt – niin tiedätte että tämä Gödelin epätäydellisyyslause puree tämmöisiin liian vahvoihin formalismeihin.

Eli jos meillä on, juuri tämmöinen universaalilaskentaan kykenevä formalismi, niin te ette voi koskaan mitään kunnon matematiikkaa, tai analyysiä, sen pohjalle rakentaa.

Ainoa mitä te voitte tehdä, on simulointi.

[1:12:31/41]

No, Stephen Wolfram tosiaan sanoo, että ei se mitään, meidän täytyy vain keksiä uusi tiede, joka ei perustu matematiikkaan.

Tämä on vähän semmoinen rohkea väite siinä mielessä, että toistaiseksi kaikki, mitä mullistuksia on tapahtunut tieteessä, ne on sopinut sinänsä tieteellisen paradigman sisään.

Vaikka on uusia havaintoja jotka on ristiriidassa vanhojen havaintojen kanssa, niin tiede uusiutuu sillä tavalla että, uusi ja vanha on yhteensopivia, loppujen lopuksi.

Rakennetaan kattavampi teoria.

Nyt tämä soluautomaatteihin perustuva teoria lähtee siitä, että kaikki vanha tiede on vanhanaikaista.

Eli soluautomaattiteoria on yhteensopimaton vanhan tieteen kanssa.

Ja kaiken pitää perustua simulointiin.

[1:13:53/42]

Ja tässä ollaan – nyt jo aletaan olla niin pitkällä, sitten tässä, että voidaan jo puhua tieteen lopusta.

Ja esimerkiksi tämä John Horganin kirja on aika hauska kuvaus siitä, että kuinka kaaosteoria – hän puhuu kaopleksisuudesta, jossa on kaaosteoria ja kompleksisuusteoria yhdistetty – kuinka tiede alkaa olla enemmänkin avainsanoja ja lupauksia, joita ei voida pitää.

Aina vain uudet tutkijat tuovat uusia lupauksia, ilman että vanhojakaan on pystytty millään tavalla todistamaan.

No, nämä tutkijat jotka käyttävät sitä uutta tiedettä, niin lähtevät siitä, että ei vanhaa todistusmekanismia vaadita, vaan kyse on siitä että simuloimme – tietokone on se todellisuus missä pyöritämme näitä soluautomaatteja – ja lopputulos mikä saadaan, niin se vain on luonnon muoto, eikä sille mitään analyysia ole olemassa.

Se mikä on sinänsä kiinnostavaa, ja kyberneettisesti huolestuttavaa, on se, että kun nämä ovat olleet niin suosittuja nämä kompleksisuuspuheet ja muut, niin myös muilla tieteenaloilla on katsottu, että jotta ne tieteenalat pysyisivät kiinnostavina myös – jotta ne saisivat rahaa – niiden täytyy jossain määrin mennä mukaan tähän samaan ajattelutapaan.

Jopa noissa kaikkein vahvimmissa kovissa tieteissä – otetaan vaikka fysiikka – niin siellä ollaan menossa pikkaisen metafysiikan suuntaan – otetaan vaikka kosmologia esimerkkinä kovasta fysiikasta, siellä tosiasioina puhutaan sellaisista asioista kuin mustista aukoista, tai madonrei'istä, tai vielä pidemmälle kun mennään, puhutaan rinnakkaisuniversumeista, ja niin edelleen.

Nämä ovat metafysiikkaa, nämä rinnakkaisuniversumit, esimerkiksi, siinä mielessä että ne määritelmällisesti ovat meidän universumimme ulkopuolella.

Emme koskaan voi niistä saada mitään tietoa, mitään mittaustietoa.

Perinteinen fysiikka perustui empirismiin, tai siihen, että mitataan luontoa, ja yritetään rakentaa selityksiä näille käyttäytymisille mitä on havaittu – niin kaikki teoriat mitkä käyttävät rinnakkaisuniversumeita, ne eivät voi olla tiedettä siinä mielessä, että ne eivät voi rakentua mittausdatalle, vaan pelkälle hypoteesille, jollekin matemaattiselle konstruktiolle.

[1:17:19/43]

No, kuitenkin jotain hyvää näissä kompleksisuusteorioissa on, ja mielestäni se hyvä on juuri tämä, että jossain määrin annetaan vapautta myös intuitiolle.

Richard Feynman, joka kehitti kvanttielektrodynamiikkaa, eli sitä valtavan hienoa, tai ainakin tehokasta, mallia alkeishiukkasten käyttäytymiselle, on sanonut, että sitä ei kerta kaikkiaan voi ymmärtää, sitä alkeishiukkasten maailmaa.

Täytyy vain luottaa matematiikkaan ja malleihin.

Niin, tässä kurssissa ainakin, ja yleensäkin näissä kompleksisuustutkimuksissa, luotetaan siihen, että pelkät kaavat – niillä ei ole arvoa sinänsä, jos ne eivät kuvaa luontoa, tai jos ne eivät anna jonkunlaista lisäymmärrystä luonnon käyttäytymiseen.

Ei riitä, että ne kuvaavat luontoa, tai pystyy – tai sekin on jo jotain jos ne pystyvät tuottamaan mittaukset, tai jos ne pystyvät antamaan ennusteita käyttäytymisestä, mutta tavoite olisi että ne, tosiaan, jollakin tavalla pystyisivät sitä viisasten kiveä valottamaan.

Eli tämä on se lähestymistapa.

Tässä kurssissa nyt hyväksytään, että jossain mielessä, tämäkin on hyväksyttävissä oleva lähestymistapa, ja intuitiivinen lähestymistapa.

Mutta kuitenkin, katsotaan, että missä määrin, tämä matematiikka, vanha, perinteinen matematiikka pystyy meille antamaan työkaluja tämän intuition konkretisoimiseen.

No tietenkin ongelma on se, että kaikilla meistä on ihan oma intuitiomme.

[1:19:42/44]

Tässä ollaan juuri sen ongelman partaalla, että miten voimme sitten saada mitään muuta kuin tämmöistä diskurssia aikaiseksi.

Tämä on vanha esimerkki, että jos sokeat ihmiset joutuvat tunnustelemaan elefanttia, niin riippuen siitä, että mitä he tunnustelevat, niin he saavat ihan erilaisen mielikuvan siitä elefantin olemuksesta.

Joku joka häntää koettelee, ymmärtää että tämä todellisuus nyt on kuvattavissa jotenkin köytenä tai köysinä.

Joku joka kokeilee sen jalkoja, ymmärtää että kyse on jostain metsästä.

Ja joka kokeilee ruumista, näkee sen ikään kuin kivimuurina, ja kärsä tuntuu käärmeeltä ja tuo torahammas tai syöksyhammas tuntuu keihäältä.

Kaikilla on oma lähestymistapansa ja kaikki sen vuoksi näkevät asian eri tavalla, eri näkökulmasta.

Ja siksi me tarvitsemme jonkunlaista konkreettista kehystä ja sitä lähdetään kehittämään nyt ensi kerralla.

Jotta meillä olisi yhteinen kieli, riippumatta siitä että lähestymistavat ovat hyvin erilaiset.

[1:21:08/45]

No tässä on tämmöinen meidän laboratorion raportti, jossa on näitä kaaosjuttuja helpolla löydettävissä.

[1:21:18/46]

Tosiaan, palataan nyt takaisin siihen kolmoseen, mistä täällä olikin puhetta jo, eli millä tavalla juuri tämä, mikä jo täällä mainittiin, on kaaosteorian kestävä tulos.

Ottamatta kantaa siihen, että onko kaaosteoria jollain tavalla umpikujassa vai ei, niin siellä on joitain kestäviä tuloksia, jotka tulevat olemaan pysyviä, kiinnostavia, saavutuksia.

Yksi on ehkä tämä Feigenbaumin bifurkaation universaalisuus, eli hyvin erilaisten järjestelmät – niissä on tämä bifurkaatio, jopa niiden toistuminen noudattaa tiettyä numeerista lakia.

Mutta ehkä kiinnostavampi on tämä Sharkovskiin teoreema, joka menee tällä tavalla:

Ensin kirjoitetaan luonnolliset luvut tällaiseen järjestykseen, missä ensin meillä on kaikki parittomat luvut, äärettömyyteen asti, ja sen äärettömyyden jälkeen meillä alkaa tämmöiset parilliset luvut missä on kakkosta vain kerran – jos se jaetaan se luku alkuluvuiksi – ja niin edelleen jatketaan kakkosen kasvavilla potensseilla, äärettömyyteen asti taas tätä.

Sillä tavalla, että kaikki kakkosen potenssit äärettömyyteen asti on käyty läpi, ja niille on tehty nämä äärettömät ketjut.

Sen jälkeen loppuun laitetaan vielä nämä kakkosen potenssit laskevassa järjestyksessä, viimeisenä ykkönen.

Eli tämä alkaa tosiaan kolmosesta tämä ketju.

Ja Sharkovskiin teoreema sanoo, että mikäli kykenemme löytämään jostakin jatkuvasta iteraatiosta – tai jos meillä jokin funktio f on jatkuva, ja iteroimme tätä funktiota f, jos kykenemme löytämään sieltä syklin, jonka pituus löytyy nyt tästä, Sharkovskiin ketjusta, niin se merkitsee että kaikki tässä ketjussa, sen luvun oikealla puolella olevat periodin pituudet, löytyvät myös siitä iteraatiosta.

Kun valitaan lähtöpiste sopivasti, niin pysytään sen ja sen mittaisella periodilla, tai sen ja sen mittaisella syklillä.

Tähän liittyy juuri tämä, minkä mainitsit, että jos on periodi kolme löytyvä, jostakin jatkuvasta iteraatiosta, niin kaikki, kaiken mittaiset syklit löytyvät siitä.

[1:24:25/47]

Esimerkkinä tässä on tämmöinen itse keksitty jatkuva kuvaus, eli hyvin yksinkertainen malli, tässä seuraavalla kalvolla on sen kuvauksen muoto, eli siinä menee tällä tavalla se toinen osa, ja sitten kun tullaan tähän nollakohtaan, sitten mennäänkin, jatketaan alaspäin.

Nyt voidaan havaita, että jos iteroimme – lähdetään pisteestä ykkönen, liikkeelle, ja iteroidaan sitä kolme kertaa, niin päädytään ykköseen.

Tämä on jatkuva kuvaus, ja tätä iteroidaan, ja tästä tosiaan löytyy kolme askeleen mittainen sykli.

Väitteen mukaan tästä – jos iteroidaan sopivasta alkutilasta – löytyy minkä tahansa mittainen sykli.

Ja tämä voidaan osoittaa, tai voimme konstruoida tämän ketjun, nyt tälle funktiolle, ja tehdään se tässä.

[1:25:42/48]

Nähdään, että jos tarkastelemme ainoastaan näitä pisteitä sinänsä, eikä olla kiinnostuneita tästä konvergenssista, niin voimme tätä eteenpäin tehtävää iteraatiota tarkastella myös taaksepäin menemällä, koska jos olemme jollakin syklillä, niin myös taaksepäin mennessä meillä pitää yksikäsitteisesti – tai meillä pitää löytyä tämä saman mittainen sykli.

Eli ruvetaankin tarkastelemaan käänteiskuvausta.

Sen sijaan, että tarkasteltaisiin tätä kuvausta, epälineaarista kuvausta, tarkastellaankin sen käänteiskuvausta, tai oikeastaan kuvauksia, koska tämä ei tietenkään ole kääntyvä, koska tämä ei ole monotoninen.

Mutta me voimme kirjoittaa kaksi monotonista, jopa lineaarista funktiota, tälle – kun tämä ikään kuin käännetään, niin nähdään, että tämä jakaantuu kahdeksi funktioksi, jotka ovat molemmat lineaarisia.

Ja nyt jos iteroimme tätä – valitaan jokin piste täältä, ja iteroidaan tätä – niin jos se on syklillä, niin se ajautuu tietyn askelmäärän jälkeen tähän samaan pisteeseen, tai samaan arvoon.

Eli, nyt on merkitty f1:llä sitä ylähaaraa, ja f2:lla alahaaraa.

Funktio ykkönen on se ylähaara ja funktio kakkonen alahaara.

Koska menemme taaksepäin tässä, niin voimme valita mielivaltaisen, kumman tahansa haaran siinä – takaisin päin tultaessa eli oikein päin iteroitaessa ne molemmat palautuu kuitenkin samaan pisteeseen.

Voimme taaksepäin mennessä tarkastella haarautuvaa ketjua, jossa joko valitaan funktio ykkönen tai funktio kakkonen, ja vaaditaan, että tietty x tietyn askelmäärän jälkeen, palautuu samaksi pisteeksi.

[1:28:15/49]

Tässä on nyt haettu neljän askeleen mittaista ketjua.

Oletetaan, että ensin tuohon x:ään sovelletaan sitä funktio ykköstä, sitten funktio kakkosta, funktio kakkosta ja funktiokakkosta, ja vaaditaan, että sen jälkeen se x on samassa arvossa.

Koska tämä on lineaarinen funktio, tai molemmat, f1 ja f2, on lineaarisia, voimme kirjoittaa auki, sen tähän näin, ja saadaan tällä tavalla, josta x on suoraan ratkeava.

Ja tämä toimii, riippumatta siitä, kuinka pitkä meillä on tämä ketju, eli kuinka pitkää sykliä haetaan.

Nyt saatiin ratkaisuksi että neljän askelen mittainen sykli lähtee pisteestä 4/9.

Voitte kokeilla.

Ja tämä tosiaan neljän askeleen päästä on samassa pisteessä.

Kuinka se on mahdollista, että tästä löytyy kaikki syklit?

Se nyt vaan on niin, että reaaliluvuilla on ihmeellisiä ominaisuuksia, että joka väliin mahtuu riittävän paljon pisteitä.

[1:29:34/50]

No, voitaisiin ottaa vielä toinen esimerkki, että minkälaisia pysyviä tuloksia täällä kaaosteoriassa on, eli tämä Benfordin laki on tämmöinen laki joka – aika semmoinen kiinnostava, ja ihan käyttökelpoinen tietyissä sovellutuksissa.

Tekniikka & Taloudessa oli aikanaan kysymys, että oli tilintarkastaja, jolle oli annettu tehtäväksi tarkastella että onko jokin konsernin tilinpäätös uskottava.

Siinä oli parikymmentä ihan satunnaista lukua, jotka kuvasivat tämän konsernin eri yhtiöiden liikevaihtoja – ihan satunnaisilta näyttäviä lukuja.

Ja siitä voitiin päätellä, aika suurella luottamuksella, että ne olivat tekaistuja ne numerot.

Koska ne numerot oli tosiaan otettu tavallisesta satunnaislukugeneraattorista.

Luonnon järjestelmissä, tämmöiset numerot, ovat jakaantuneet niin sanotun Benfordin lain mukaan.

Suoraan sanoen, tämmöiset itsesimilaariset – voidaan ajatella että joku talouselämä on itsesimilaarinen siinä mielessä että on pieniä yrityksiä, suuria yrityksiä, niin edelleen, ja on hienorakennetta, liikevaihtoja on kaikissa kokoluokissa.

Pieniä yrityksiä on suuri määrä, tämä on ikään kuin fraktaalinen rakenne sekin.

Ja se, millä tavalla yritysten liikevaihdot asettuvat – jos ne oletetaan tavallaan fraktaalirakenteeksi, niin ne sijoittuvatkin logaritmisella asteikolla satunnaisesti.

Eli jos katsotte laskutikkua tai muuta niin näette, että logaritmisella asteikolla asteikko nollasta äärettömään on aivan eri näköinen kuin tavallisella asteikolla.

Logaritmiasteikolla ykkösen ja kakkosen väli on paljon pidempi kuin kakkosen ja kolmosen väli, puhumattakaan jostain kahdeksikon ja yhdeksikön välistä.

Jos satunnaisesti heitetään yrityksen liikevaihtoja logaritmiasteikolle, on suurempi todennäköisyys että se päätyy lukuun, jossa on ykkönen ensimmäisenä.

Ja tämä tosiaankin – esimerkiksi luonnon vakiot on tällä tavalla ikään kuin luonnon satunnaisesti heittämiä numeroita johonkin jatkumolle, ja voidaan ajatella, että ne muodostavat fraktaalirakenteen, ja todellakin, jos katsotte näitä lukuja niin täällä on ykkönen huomattavan usein tässä ensimmäisenä numerona.

Jos sen sijaan katsotte hintoja tai muita niin tämähän ei pidä enää paikkaansa, vaan nimenomaan tämä yhdeksikkö on hyvin korostunut kaikissa hinnoissa.

[ Kysymys: Miten tuo pätee, jos liikevaihdot voidaan muuttaa johonkin muuhun valuuttaan, niin löytyykö aina se struktuuri? ]

Se sama struktuuri löytyy aina.

Se ei haittaa, koska se on skaalariippumaton – voit skaalata tällä valuuttakertoimella, ja silti sama rakenne säilyy.

Tämä skaalariippumattomuus on juuri tämän fraktaalisuuden ominaisuus, että otat minkä tahansa zoomaus-tason, niin aina löytyy laadullisesti samanlainen rakenne.

[ Kysymys: Entä jos vaihdetaan lukujärjestelmää? Vaihdetaan toiseen lukujärjestelmään? ]

Tarkoitatko binäärijärjestelmää tai jotain...?

[ Niin, tai jotain nelijärjestelmää tai viisjärjestelmää. ]

Binäärijärjestelmä on äärimmäisen yksinkertainen siinä mielessä että siinä aina alkaa ykkösellä kaikki.

[ Jos me lisätään, otetaan vaikka jokin 50-järjestelmä tai 60-järjestelmä? ]

Kyllä tämä sama on voimassa edelleen, tosin tämä ykkönen, tämä frekvenssi, tulee alemmaksi, mutta sen sijaan täällä – se että alkaisi 49:llä siinä järjestelmässä niin se on erittäin epätodennäköistä.

Kyllä tämä sama lainalaisuus on voimassa edelleenkin, mutta voitte – sen voi oikeastaan tämän muodon haluamassaan lukujärjestelmässä johtaa, ihan suoraan katsomalla että kuinka tiuhassa logaritmiasteikolla nämä valitsemasi luvut ovat.

No, tässä oli kaikki mitä tällä kertaa ajattelin esittää.

Ensi kerralla lähdetään liikkeelle siitä, että sen sijaan että tässä nyt ikään kuin joukko, porukka, tai kuulijat, ehkä bifurkoituivat, siinä mielessä että voidaanko ymmärtää, hyväksyä jotakin olettamusta, niin tavoite olisi juuri kääntää tämä toisinpäin, pyrkiä löytämään semmoiset lainalaisuudet jotka ikään kuin konvergoi, sillä tavalla että kaikki voisivat ne hyväksyä, ja sen jälkeen sitten seuraavalla kerralla lähdetään johtamaan malleja, siitä lähtien.

Kiitos.

[1:35:42/-]